A4紙為什么是使用比較廣泛的打印復印紙？

我向來對于高聲嚷嚷著“客人至上，服務第一”的口號，有種無法完全信服的感覺。畢竟說起服務這種事情，應該不是以“讓客人感受到的程度”為指標。舉例來說，逛街時要是專柜小姐一直如影隨形地跟在一旁，貼心介紹每一件你只有食指碰到的商品，再拿五種顏色讓你試穿，雖然服務周到得沒話說，壓力卻也大得讓人沒辦法說話。最極致的服務，應該要讓客人以自己喜歡的方式，從事喜歡的行為，完全察覺不到正在被服務。

就這點來說，我認為可以跟復印機里的A4紙學習服務的精神。

利希騰貝格比例

A4紙是生活中最常用的紙規格。A系列的紙張規格特色在于：

A0、A2、…、A5，所有尺寸的紙張長寬比都相同。

A0對裁后可以得到2張A1，A1對裁可以得到2張A2，依此類推。

這兩項特色讓A系列規格的紙張非常好用，畫在A4紙上的圖畫可以等比例放大到A0海報上。手邊只要有某一款A系列的紙，即能做出任意大小的A系列。但事實上不是任意一張紙對裁，都可以得到比例跟原來的紙一模一樣的兩張紙。只有A系列紙張特殊的長寬比——利希騰貝格比例(Lichtenberg ratio)的特殊比例圖片，才能帶來這種特性。

舉實際的數字給各位看：A4是21厘米×29.7厘米 ，29.7/21 =1.41；A5是29.7/2 = 14.8厘米×21厘米，21/14.8= 1.41；A0是84.1厘米×118.9厘米，118.9/84.1=1.41，都趨近于圖片。

換句話說，我們都享用了利希騰貝格比例的好處，卻很少人知道利希騰貝格比例是什么，某種程度上，這就是最極致的體貼，讓人享用到它的好，卻察覺不到它的存在。

嗯，我不是在講女性用品廣告臺詞，雖然兩者間很相似(以每一種距離來說都是)。

躲在A4里面，還有更了不起的比例

黃金比例(golden ratio)1.618可以稱之為比例之王，不管從Google搜尋或被應用的范圍來說，他都是最常見的比例。不過，事實上還有類似黃金比例的比例，和利希騰貝格比例一樣隱藏在A4紙里面，名字剛好跟《圣斗士星矢》里圣斗士的階級相同，是黃金圣斗士之下的白銀圣斗士，不，白銀比例(silver ratio)——2.414。只要以A4紙的短邊為邊長，劃出一個正方形并裁掉，剩下長方形的長寬比即是白銀比例。我們可以驗證一下，A4紙的長寬比是圖片，用短邊劃出正方形并裁掉后，剩下長方形的長寬比將會是1: [圖片] = 2.414。

我們也可以把白銀比例表示成圖片，它和(圖片)/2的黃金比例有許多相似之處。例如，他們都和某個數列有關。先前介紹過黃金比例和費波那契數列(Fibonacci series)：1、1、2、3、5、8、13、21、…。后一組數字除以前一組數字，便可以得到近似于黃金比例的比值。白銀比例則用上了佩爾數列(Pell series)：1、2、5、12、29、…。拿前后兩組數字相除，可以得到2、2.5、2.4、2.41、…越來越接近白銀比例2.414。我們可以用圖形的方式來解釋，為何費波那契數列和佩爾數列中產生黃金比例或白銀比例。

首先，費波那契數列的第n組數字是前兩組數字的和，意即Pn = Pn-1 + Pn-2，例如21=8+13。佩爾數列的第n組數字前一組數字的兩倍加上再前一組數字，意即Pn = 2Pn-1 + Pn-2。例如29=12×2+5。再將費波那契跟佩爾數列的遞歸表示法除以Pn-1，可以得到

Pn/ Pn-1 = 1+ Pn-2/ Pn-1。

Pn/ Pn-1 = 2 + Pn-2/ Pn-1。

第一個式子表示，大的黃金比例長方形是一個正方形加上一個小黃金比例的長方形。

第二個式子則是，大的白銀比例長方形可以由兩個正方形，加上一個小的白銀比例長方形組合而成，如下圖所示。

白銀比例的服務精神

利希騰貝格比例讓紙張的使用更加便利，黃金比例跟白銀比例的用途更廣泛，其中之一是在藝術上的貢獻。例如下面的綠色菱形，對角線的長寬比剛好是白銀比例，因此可以用方才的幾何規則“兩個大的加一個小的”，將三個這樣的菱形，其中兩個橫放，三個并排，制造出一個等比例放大的藍色菱形，放大的比例剛好是白銀比例。

這種特殊的菱形與正方形，是下圖復雜的伊斯蘭風格拼貼鑲嵌的基本元素。

比起一般地板磁磚的正方形，或蜂巢狀的六角形鑲嵌，這種鑲嵌更華麗美觀。這么復雜的鑲嵌，除了基本構成的菱形需要白銀比例，鑲嵌過程也需要用上白銀比例，最后構成的眾多正八邊形里，依然也有白銀比例。

可以看見，白銀比例一樣提供了最佳的服務，讓使用者察覺不到，卻因為它獲益良多。最起碼豪宅里使用了這種鑲嵌技術(Ammann-Beenker tiling)的土豪一定不知道背后有白銀比例，不然他鐵定會把設計師叫過來臭罵一頓：

“為什么不用黃金比例，要用白銀比例呢？！”

有噢，有黃金比例的鑲嵌，稱之為彭羅斯拼圖（Penrose tiling），數學可是最有服務精神，服務最周到的科學了。

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